MathDB

Nicu plays the Next game on the computer. Initially the number

S

in the computer has the value

S = 0

. At each step Nicu chooses a certain number

a

(

0 <a <1

) and enters it in computer. The computer arbitrarily either adds this number

a

to the number

S

or it subtracts from

S

and displays on the screen the new result for

S

. After that Nicu does Next step. It is known that among any

100

consecutive operations the computer the at least once apply the assembly. Give an arbitrary number

M> 0

. Show that there is a strategy for Nicu that will always allow him after a finite number of steps to get a result

S> M

.
[hide=original wording]Nicu joacă la calculator următorul joc. Iniţial numărul S din calculator are valoarea S = 0. La fiecare pas Nicu alege un număr oarecare a (0 < a < 1) şi îl introduce în calculator. Calculatorul, în mod arbitrar, sau adună acest număr a la numărul S sau îl scade din S şi afişează pe ecran rezultatul nou pentru S. După aceasta Nicu face următorul pas. Se ştie că printre oricare 100 de operaţii consecutive calculatorul cel puţin o dată aplică adunarea. Fie dat un număr arbitrar M > 0. Să se arate că există o strategie pentru Nicu care oricând îi va permite lui după un număr finit de paşi să obţină un rezulat S > M.

Problem Statement